Jak se měří rezonance?

Oscilační obvod je typickým představitelem rezonančních oscilačních systémů, které hrají důležitou roli ve většině odvětví fyziky – v mechanice jsou to různé typy kyvadel a zvukových rezonátorů (struny, membrány, píšťaly, píšťaly, varhany), v elektrodynamice – oscilační obvody , uzavřené a otevřené rezonátory s rozloženými parametry, v optice – laserové dutiny, Fabry-Perotovy standardy atd. Principy pro popis všech oscilačních systémů jsou natolik obecné, že se teorie oscilací stala samostatným odvětvím fyziky. Studium parametrů, vlastností a charakteristik oscilačního obvodu je proto užitečné považovat za obecný úvod do světa rezonančních oscilačních systémů.

V teorii kmitů se rozlišují dvě třídy jevů – jevy v lineárních a nelineárních oscilačních systémech. Lineární systémy jsou takové, jejichž parametry nezávisí na amplitudě kmitů. Například pro kyvadla to znamená tak malé vibrace, že pružnost pružin a tyčí nezávisí na amplitudě vibrací a napětí závěsného závitu je dáno pouze gravitačními silami. U elektrických oscilačních obvodů musí veličiny jako indukčnost $L$, kapacita $C$ a odpor $R$ zůstat nezávislé na amplitudě proudů a napětí.

Rezonanční systémy mají dvě důležité vlastnosti.

Schopnost selektivně reagovat na vnější zdroje signálu, zvýraznění pouze těch, jejichž frekvence se shodují s vlastní frekvencí oscilačního systému.

Vlastnost ukládání energie kmitů vybuzených vnějším zdrojem, udržování kmitů po určitou dobu po vypnutí vnějšího zdroje.

Oscilační obvod je charakterizován dvěma hlavními parametry: frekvencí vlastních (rezonančních) kmitů $omega _ $ a činitelem jakosti $Q$, který charakterizuje poměr výkonu energie vlastního kmitání ke ztrátám výkonu za periodu. .

Na Obr. 18 ukazuje příklady „paralel“ elektrických a mechanických oscilačních systémů. U elektrických rezonátorů dochází k periodickému přechodu elektrické energie uložené v kondenzátoru $(W_E =frac 12 CU^2),$ na magnetickou energii induktoru $(W_M =frac 12 LI^2)$ a naopak. V kyvadlech dochází k podobnému cyklickému přechodu energie z potenciální (zvednuté zátěže nebo stlačené pružiny) do kinetické a zpět.

Volné vibrace se vyskytují v uzavřeném okruhu bez hnací síly (obr. 19, a). Podle druhého Kirchhoffova zákona můžeme pro takový řetězec napsat: $$ Rcdot I+U_ =-Lcdot frac. $$ Vyjádřením $U_ $ pomocí poplatku $q$ dostaneme rovnici

$$ Rcdot I+Lcdot frac +frac =0 mbox < (SI). >$$ Při diferenciaci s ohledem na čas a při zohlednění rovnosti $I=frac $ dostaneme $$ Lfrac I> > +Rfrac +frac =0 mbox < (SI). >$$ Vydělením $L$ a zavedením zápisů $delta =frac $ a $omega _^ =frac $ získáme obecnou rovnici pro volné kmity lineárního rezonančního systému: $$ I»+2delta , I’+ omega _^ I= 0, $$ kde parametr $delta $ se nazývá tlumení a parametr $omega _ $ je vlastní frekvence neboli frekvence volných oscilací. Lze to vyřešit dosazením $I=Acdot e^ $, což vede k charakteristické rovnici $$ -omega ^ +2iomega , delta +omega _^ =0, $$ s řešením $$ lambda , _ =i, delta pm sqrt . $$ Obecné řešení má dvě složky $$ I=Acdot e^ +Bcdot e^ . $$ Konstanty $A$ a $B$ jsou určeny počátečními daty problému, například nábojem $q_ $ nebo napětím na kondenzátoru $U_ $. Povaha počátečních dat je určena konkrétním fyzickým systémem.

Konkrétní příklad obvodu pro buzení volných kmitů v oscilačním obvodu je znázorněn na Obr. 19, b. Kondenzátor $C$ se nabíjí z baterie na napětí $U_ $ (pozice „a“ přepínače) a poté se přepne do bodu „b“. Volné oscilace budou představovat cyklický přechod energie elektrického pole (v kondenzátoru) na energii magnetického pole (v indukčnosti) a naopak.

Dosazením nalezených hodnot $A$ a $B$ získáme obecné řešení pro volné oscilace v obvodu $$ I=ifrac > ^ -delta ^ > > e^ frac ^ -delta ^ > , t> -e^ , t> > . $$

Pokud by se oscilační obvod skládal pouze z ideálních (bezeztrátových) reaktivních prvků (indukčnost $L$ a kapacita $C$), pak by přechod energie z elektrické na magnetickou a zpět probíhal beze ztrát a v obvodu by bylo netlumené volné oscilace s vlastní frekvencí $omega _ =2pi , f=sqrt>.$

Přítomnost aktivního prvku $R$ v obvodu vede k tomu, že se část energie pro každou periodu přemění v teplo a kmity se rozpadají s určitou časovou konstantou $tau$. Roli frekvence v rovnici nyní hraje veličina $omega _

=sqrt ^ -delta ^ > $, v závislosti na poměru jalového výkonu ke ztrátám v činném odporu $R$. V tomto případě není vůbec nutné zařazovat do obvodu samostatný rezistor. Může to být například ohmický odpor drátu, kterým je navinut induktor, a také svodový odpor izolátorů kondenzátoru. Část vibrační energie může navíc obvod vyzařovat do okolního prostoru ve formě elektromagnetické vlny. Na tom je založeno působení tzv. spřažených obvodů: pokud se v blízkosti daného oscilačního obvodu nachází další oscilační obvod, pak se v něm „vyvolávají“ (vznikají) oscilace díky tomu, že část energie je transformována z tzv. z prvního okruhu do druhého. Přenos energie se provádí střídavým elektromagnetickým polem vznikajícím kolem primárního okruhu.

Pokud je útlum malý, tj. $delta

t=-I_ e^ sin omega _

t. $$ V tomto případě se rezonanční frekvence blíží přirozené frekvenci: $$ omega _

=sqrt cca omega _ vlevo (1-frac frac právo). $$ Tedy při nízkém tlumení se rezonanční frekvence prakticky shoduje s vlastní frekvencí, ale oscilace nejsou harmonické. Pro harmonické kmity musí být splněna podmínka $Ileft(tright)=Ileft(t+Tright)$, kde $T$ je perioda oscilace. V našem případě $Ileft(tright)ne Ileft(t+Tright)$ a o periodě lze mluvit pouze jako o čase, po kterém se opakují nuly funkce (obr. 20). V tomto smyslu budeme dále používat termín „období oscilace“.

Představme si pojmy jakostní faktor $Q$ a logaritmický úbytek $gama$ obvodu. Z poměru amplitud $n$-té a $(n + k)$-té oscilace je roven $I_ I_^ = e^$, kde $T=2, pi omega ^ $ je perioda oscilace („opakování nul“). Logaritmický dekrement tlumení $gamma $ je množství $$ gamma =delta , T=frac ln frac =ln frac > . $$ Z rovnice pro proud je zřejmé, že hodnota $delta $ je nepřímo úměrná době, po kterou se amplituda kmitů zmenší $e$krát. Z poslední rovnice vyplývá, že dekrement tlumení $gamma $ ukazuje pokles amplitudy za dobu oscilace: $$ gamma =delta , T=frac . $$ Další, běžnější parametr charakterizující oscilační systém, faktor kvality $Q$, je jednoznačně spojen s logaritmickým koeficientem tlumení.

Faktor kvality obvodu $Q$ je určen vztahem $$ Q=frac L> = frac CR> =frac, $$ kde $rho =sqrt $ (SI). Fyzikální význam činitele jakosti spočívá v poměru energie uložené v obvodu k energii ztracené během periody kmitání $$ Q=omega cdot frac, $$ odkud je vztah mezi činitelem jakosti a ostatními parametry obvodu lze nalézt $$ Q=frac

= frac =omega frac mbox < (SI).>$$

Experimentálně se činitel jakosti určí z rezonanční křivky jako podíl rezonanční frekvence $omega _

$ na frekvenční pásmo $2cdot Delta omega $, definované na úrovni $U_ =pm frac>$: $$ Q=frac > =frac> , $$ kde $U_

$ je amplituda kmitání při rezonanční frekvenci obvodu. Veličina $rho =sqrt$ se nazývá charakteristická (vlnová) impedance obvodu.

Při velkém útlumu, tzn. pro $delta >omega _ $ je hodnota $omega _^ -delta ^ $ záporná, její kořen je imaginární. Takový případ se nazývá aperiodický proces. Obecné řešení, podobné tomu získanému dříve, bude mít tvar $$ I=-frac > e^ mboxsqrt <(delta ^-omega _^ )>, t. $$ Graf této funkce je na Obr. 21. Kritická podmínka, při které se tlumené oscilace transformují na aperiodický proces, je podmínka $delta =omega _ $. V tomto případě má řešení obecné rovnice tvar $$ I=-frac (omega t)e^ , =-frac t, e^. $$ Zbývá dodat, že podobné parametry lze zavést pro jakýkoli rezonanční oscilační systém bez ohledu na jeho fyzikální povahu (systémy mechanické, termodynamické, elektromagnetické, optické, aero- a hydrodynamické).

Nucené vibrace

Oscilační obvod diskutovaný v předchozí části byl uzavřený elektrický obvod, ve kterém dochází k volným vibracím.

V případě nucených kmitů musíme do obvodu dodávat elektrickou energii z vnějšího zdroje (generátoru). Existuje mnoho způsobů, jak připojit zdroj vnější energie k obvodu, který sestává z jedné nebo druhé kombinace dvou hlavních: v otevřeném obvodu (obr. 22, a) nebo paralelně s kapacitní a indukční větví obvodu. obvod (obr. 22, b). V závislosti na způsobu zapojení se rozlišují sériové (obr. 22, a) a paralelní (obr. 22, b) oscilační obvody. Mají různé požadavky na přizpůsobení mezi generátorem a zátěží. Proto je nutné odlišit vlastní parametry obvodu od parametrů zatíženého obvodu, získaných s ohledem na vliv generátoru a „zátěže“ (vstupní odpor obvodu, ve kterém je obvod zapojen). V paralelním obvodu (obr. 22,b) dochází k rezonanci proudu. Pro jeho udržení jako hnací síly je nutné použít stabilní generátor proudu. V sériovém obvodu (obr. 22, a) je napěťová rezonance a pro její udržení je nutné použít externí generátor stabilního napětí.

Nucené kmity v sériovém obvodu, napěťová rezonance

Kirchhoffův zákon, který umožňuje studovat procesy v obvodu (obr. 22, a) v závislosti na frekvenci, je zapsán jako $$ U=U_ +U_ +U_ =IR+iI(omega L-frac )=Icdot Z. $$ Obvod představuje určitý komplexní odpor pro generátor $$ Z=R_L +icdot (omega L-frac ), $$ $$ vlevo|Zprava| = sqrt )^2>, mboxvarphi =frac > $$ kde $left|Zright|$ je modul komplexního odporu; $R_$ je ohmický odpor induktoru; $varphi$ je fázový posun mezi aktivním a reaktančním odporem, rovný fázovému posunu mezi proudem $I$ v obvodu a vstupním napětím $U$.

Z posledního výrazu je zřejmé, že odpor obvodu bude minimální a roven aktivnímu odporu $R_ $ při určité frekvenci $omega _ $, určené podmínkou $$ omega _0 L=frac , mbox < kde >omega _ =frac> mbox < (SI).>$$ Tedy na rezonanční frekvenci je odpor obvodu minimální, čistě aktivní a proud v obvodu je ve fázi se vstupním napětím (generátor napětí). Ve skutečnosti je to definice rezonance v sériovém oscilačním obvodu.

Pro praktické účely je zajímavé studovat chování napětí na jalových prvcích obvodu v závislosti na frekvenci generátoru a určit jeho činitel jakosti $Q$.

Protože fáze $U_ $ a $U_ $, bez ohledu na frekvenci, jsou vždy posunuty vzhledem k aktuálnímu $I$ o $+$ a $-90^$, stačí studovat frekvenční závislost jejich modulů. To lze provést na základě rovnic $$ U_ =IR, U_ =Iomega L, U_ =frac , I=frac . $$

Rozšiřme například rovnice pro $I$ a $U_$. Pomocí konceptu činitele jakosti $Q=left(omega _ RCright)^$ zavedeného pro volné oscilace získáme následující výraz pro proud v sériovém obvodu: $$ I=frac +(omega L-frac )^ > > =frac frac -frac )^ > > . $$ Potom se napětí na indukčnosti bude rovnat $$ U_ =omega LI=Ufrac > -frac )^ > > . $$

Podobnou rovnici lze získat pro napětí na $C$. Při $omega =omega _ $ budou napětí na $L$ a $C$ rovna $U_ =U_ =Qcdot U$, tzn. $Q$ krát hnací emf napětí.

Ve skutečnosti jsou napěťová maxima na prvcích $L$ a $C$ o něco vyšší a posunutá od rezonanční frekvence a jsou vyjádřena následujícími vztahy: $$ omega _ =omega _ sqrt C> > > =omega _ sqrt <2-left(frac<1>right)^ > > , omega _ = frac . $$

Když činitel jakosti obvodu $Q ge 10$, posun frekvencí maxim $U_ $ a $U_ $ vzhledem k rezonanční frekvenci $omega _ $ nepřekročí 1% a experimentálně rezonanční frekvence a činitel jakosti lze určit z rezonanční křivky libovolného z napětí $U_ $ a $U_ $ . Napětí na jalových prvcích $U_ $ a $U_ $ při $omega =omega _ $ je $Q$ krát větší než vstupní napětí $U$, proto se rezonance v sériovém obvodu nazývá napěťová rezonance.

Je důležité poznamenat, že pro naši analýzu je podstatné, že samotné vstupní napětí $U$ nezávisí na frekvenci. Jinak by všechny parametry závisely nejen na samotném obvodu, ale také na parametrech zdroje signálu. Jak bylo ukázáno v předchozím odstavci, výstupní odpor generátoru musí být mnohem menší než $R$.

Nucené kmity v paralelním obvodu, proudová rezonance

Schéma zapojení paralelního obvodu je na Obr. 21, b. Kvůli složité povaze zátěže je proud generátoru komplexní hodnotou. Proto proudový modul $I$ může být menší než nejen součet proudových modulů indukční a kapacitní větve obvodu, ale také každého z nich samostatně. To je přesně to, co se děje během rezonance v paralelním obvodu: proudy v indukční a kapacitní větvi obvodu jsou $Q$ krát větší než proud odebíraný z generátoru proudu. Proto se rezonance v paralelním obvodu nazývá proudová rezonance.

Komplexní odpor paralelního obvodu je roven $$ Z=frac Z_ > +Z_ > = frac <(R_ +iomega L)(iomega C)^>+i(omega L-(omega C)^ )> přibližně frac +i(omega L-(omega C)^)> . $$

Zanedbali jsme hodnotu $R_ $ v čitateli, protože je $Q$ krát menší než indukční reaktance, ale to nelze provést ve jmenovateli, protože při rezonanci má hodnota v závorkách tendenci k nule.

Rezonanční podmínka pro paralelní obvod je stejná jako pro sériový obvod – rovnost reaktancí větví s $L$ a $C$: $$ omega _ L=frac , mbox < kde >omega _ =frac > mbox < (SI). >$$ Při rezonanci se tedy odpor obvodu stává čistě aktivním a rovná se $$ R_ =frac < C R_>=frac > , $$ kde — $rho =sqrt $ je charakteristická impedance obvodu.

Odpor $R_ $ nemá v obvodu samostatný fyzikální ekvivalent, ale je kombinací vlnového odporu $rho $ a ztrátového odporu $R_ $. Proto netvoří samostatnou větev paralelního obvodu a nerozvětvuje proud do sebe. Proto to někam „přenášet“ nebo k něčemu „připojovat“ (např. k vnitřnímu odporu zdroje proudu) je nesmyslné. Ve schématu jde jednoduše o symbolické označení toho, že na rezonanční frekvenci představuje paralelní oscilační obvod pro externí generátor nějaký čistě činný odpor o hodnotě $R_ $ a ve vzorcích jde o symbolické znázornění určitého kombinace $rho $ a $R_ $, daná posledním vzorcem.

Faktor kvality paralelního obvodu $$ Q=frac > =frac omega _ C> =frac > =R_ sqrt > . $$

Vlastní parametry paralelního obvodu, tzn. rezonanční frekvence $omega _ $ a činitel jakosti $Q$ budou stejné jako v sériovém obvodu se stejnými $C$, $L$ a $R_.$